蝴蝶定理及其证明

　　蝴蝶定理

　　蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

　　出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。

　　证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。

　　∵△AMD∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC

　　∵SD=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT 又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT ∴∠MSX=∠MTY ∵∠OMX=∠OSX=90° ∴∠OMX+∠OSX=180° ∴O，S，X，M四点共圆 同理，O，T，Y，M四点共圆 ∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX ∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM

　　这个定理在椭圆中也成立，如图

　　1.椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(o，r)(b〉r〉0)。

　　(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率;

　　(Ⅱ)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1，y1)，D(x2，y2)(y2〉0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3，y3)，H(x4，y4)(y4〉0)。 求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)

　　(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 求证： | OP | = | OQ |。

　　(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)

　　2.解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：

　　(18)本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。

　　(Ⅰ)解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为

　　x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，? (Ⅱ)证明：将直线CD的方程y=k

　　整理，得

　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根据韦达定理，得

　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①

　　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②

　　由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。

　　(Ⅲ)证明：设点P(p，o)，点Q(q，o)。 由C，P，H共线，得 (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 由D，Q，G共线，同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得： x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

　　3.简评

　　本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第(Ⅰ)问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。

　　第(Ⅱ)问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。

　　第(Ⅲ)问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q(或p+q=0。)此时分析前提条件(Ⅱ)及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。

　　设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得 1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’

　　设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’ 将①’两边同乘以k1·k2，即得 k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

　　它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

　　综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。

　　4.赏析：

　　上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的?它的背景是什么?它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示? 关于圆，有一个有趣的定理：

　　蝴蝶定理 设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。

　　这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理(图2)。 盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶?

　　像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭

　　圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心?

　　〔关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59〕。

　　5.启示

　　椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花(草)园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册(必修)数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上;P27习题二第9题：证明三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上;P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A(-2，12)、B(1，3)、C(4，-6)在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么?你(老师、学生)关注到了它吗?

　　实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式

　　证明|AC|=|AB∣+∣BC∣;你也可以应用定比分点公式x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)去证λ=(x1-x)/(x-x2)=(y1-y)/(y-y2);你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=(y2-y1)/(x2-x1)，去证KAB=KAC;你还可以先建立直线AB的方程f(x，y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x，y)=0;你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式

　　证明dc-AB=0;你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力(洞察、观察)的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第(Ⅲ)问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”!不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里?北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力?我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。

　　补充：混沌论中蝴蝶定理

　　数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢?所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。蝴蝶定理的推广 如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF;如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢? 所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。证明：引理，如右图，有结论由及正弦定理即可得到：原结论 作OM1AD于M1，OM2EH于M2， 于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin;MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin 且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又故原式成立证毕。

　　蝴蝶定理的证明

　　蝴蝶定理 1815年，西欧《男士日记》杂志上刊登一则难题征解，题目如下： 过圆的弦AB的中点M，引任意两条弦CD，EF，连接ED，CF分别交AB于P，Q两点。求PM=QM(见图)由于形状酷似蝴蝶， 该命题被人们称为“蝴蝶定理”。

　　一值四年来都无人解答。1819年7月四边形蝴蝶定理 若四边形一条对角线平分另一对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点(邻边)的连线，与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等。证明过程中用到共边比例定理、共角比例定理。如图：BG=CG,求证：EG=FG 连接CP，BS，BR，CQ

　　EG/BE*CF/FG=S△PGQ/S△PBQ* S△SCR/S△SGR=S△ABD/S△PBQ * S△SCR/S△ACD * S△PGQ/S△SGR =AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG =S△ABC*S△BCD/S△BCP*BCQ * S△BCS*S△BCR/S△ABC*S△BCD * S△BCP*S△BCQ/S△BCR*S△BCS =1 EG/BG=GF/CG EG=GF ，一位自学成才的中学教师霍纳给出第一个答案，但繁琐难懂。但从1819年开始，人们寻求简洁易懂的新证明，直到1973年，中学教师斯特温给出十分初等的证法，之后又有许多新证法发表。斯特温证明： 令MQ=x，MA=y，AM=BM=a，∠E=∠C=α，∠D=∠F=β，∠BMF=∠AME=δ， ∠DMA=∠CMB=γ 用△1，△2，△3，△4分别代表△PME，△QMC，△PDM，△QFM面积。则△1/△2*△2/△3*△3/△4*△4/△1 =(EP*EMsinα/CQ*CMsimα)*(MQ*CMsinγ/PM*MDsinγ)*(PD*MDsinβ/MF*QFsinβ)*(MQ*MFsinδ/MP*MEsinδ)=(EP*PD*MQ*MQ)/(CQ*FQ*MP*MP)=1 由相交弦定理EP*PD=AP*PB=(a-y)(a+y)CQ*FQ=BQ*QA=(a-x)(a+x) (EP*PD*MQ*MQ)=(CQ*FQ*MP*MP)，(aa-yy)xx=(aa-xx)yy 化解，得x=y 即PM=MQ，证毕。由于，椭园面是正柱面的斜截面。如图圆柱的底是椭圆的投影， 所以，蝴蝶定理对椭圆也成立。什么是蝴蝶定理?如何证明蝴蝶定理? 蝴蝶定理：在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K，则有MK=MH。 已知：如图8-30乙所示。在圆O中，CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K。 求证：MK=MH思路2：根据圆的对称性，作出弦心距;从三角形相似再推导出三角形相似，由四点共圆，推导出∠MOH=∠MOK是关键;

　　证明：过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT，再连MO。∵ AM=MB; ∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°;在△FCM和△DEM中; ∠CMF=∠DME;(对顶角相等);∠MFC=∠MDE;(等弧对等圆周角)∴ △FCM∽△DEM;(AA)∴∠FCM=∠DEM ; ∵ FS=SC=½FC;DT=TE=½DE;∴FS/FC =TD/ED ;∵FC/ED = FM/MD ∴FS/FM = TD/MD 在△FSM和△DTM中; ∠MFS=∠MDT;(等弧对等圆周角);FS/FM = TD/MD ; ∴ △FSM∽△DTM;(SAS)∠FSM=∠DTM;∠MSH=∠MTK;

　　∵∠AMO=90°、∠HSO=90°;O、S、H、M四点共圆;∴ ∠MSH=∠MOH; ∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°;O、T、K、M四点共圆;∴ ∠MTK=∠MOK;∴ ∠MOH=∠MOK;在△MOH和△MOK中;∠MOH=∠MOK;MO=MO; ∠AMO=∠BMO=90°;∴ △MOH≌△MOK;(ASA)∴ MH=MK。 结论：作出弦心距是最有效的辅助线，本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论。该命题还有很多其他证法，不再赘述。