精明的凯莉(Kelly)方程式

　　“Kelly-formula”的本源是1956年John Kelly在美国著名的贝尔实验室提出的，属于概率学关于预测(期)方面的一个分支，原数学模型极为复杂，因其在对事件的预期和规避风险等理论上的先进性，凯莉准则在博彩方面的应用极为迅速地传播起来，比如赌场的扑克游戏二十一点和欧洲盛行的赛马、赛狗等运动，其地位同“旋转矩阵”在数字乐透领域一样显赫。在足球博彩方面的应用主要以欧洲赔率为基础，可以在给定赔率的情况下计算出最佳的投注额，从而使你的注码稳定地、安全地、快速地(几何级数)增长。

　　

 

　　kelly方程是什么样的?或许其真貌很少得到正确的描述，我们见到的多数是其衍生的或者简化的，个性化的，接下来就随外汇通金融小编一起来深度了解一下神秘的Kelly方程式吧!

　　几种常见的凯莉方程式

　　a.

　　精明的凯莉方程式：

　　b*(e*o-1)

　　opt=----------- -----------------------------(精明方程)

　　3*(o-1)

　　由于图片不能贴，只能用简单拼凑了，roycaich注

　　上式具体含义如下：

　　opt = 最佳投注额(Optimized Stake Size)

　　b = 可支配的总投注额(Current bankroll)

　　o = 小数形式的赔率(Odds available in decimal format)

　　e = 取胜预期或者说预计胜率(Estimated probability)

　　b.

　　最为常见的，最多被引用的

　　p*o-1

　　b= ————-- -----------------------------(基础方程)

　　o-1

　　p = 胜率(the probability of collecting the bet. (0 o = 含本金的赔率(the gross payoff (a multiple of stake) in case you win. (o>1))

　　b = 最佳投注额比例(gives the fraction of your current bankroll that should be wagered on that specific bet.)

　　上述公式其实也是kelly方程比较实质的一个公式，至于怎么得出来的，后面我们再来提及，roycaich注

　　c.个人因素方程

　　另一种解释(引用Ed Seykota 的风险管理文章中的描述)

　　The Kelly Formula

　　K = W - (1-W)/R ---------------------------------(个人因素方程)

　　K = 下一笔交易占资本比例

　　W = 历史胜率

　　R = 报酬

　　例如铜板例子

　　K = .5 - (1 - .5)/2 = .5 - .25 = .25.

　　凯利方程式指出，最佳化的比例是 25%。

　　注意，W和R都是长期的平均数字，随着时间，K会小小的改变。

　　--W是指你自己的历史胜率，R是庄家开出的赔率(小数点方式的)，roycaich注

　　d.

　　一些变化的方程:

　　1/2 ,1/4kelly方程，即在应用中将投注值运用kelly方程计算得到后再乘以一个系数，即：

　　p*o-1

　　b=K × ———— -----------------------------(系数变形方程)

　　o-1

　　其中，p，o的解释参看基础方程所描述的含义，k为一个系数，一般而言选择1/2,1/4这样的系数，0这个公式在具体应用中和个人的喜好中自己选择，后面的文章我们会来提及相关的应用和一个简单的实例。

　　四个方程有什么不同

　　很明显，上面的四个方程是不同的，那么，这四个方程有什么不同?实际上我们可以认为基础方程是核心，也是真正的kelly方程，这个方程告诉我们，投注的额度其实跟你自己有多少钱是没有关系的，kelly方程只是告诉你一个比例而不是货币单位，眐elly方程也是跟你个人的胜率无关的--你这个人很红场场胜利，对于一场比赛kelly方程是这样的，你这个人很黑，十投九黑对于同样一场比赛kelly方程还是那样的。 系数变形方程呢，只是基础方程的一个基本的变形，在后面我们会来讨论如何应用变形方程，这个会跟庄家的期望利润有关系。 但是在这两个方程里面，我想总是有人对于公式中的p，o有些不了解，实际上，这里的o比较简单，就是庄家开出的小数点形式的赔率(也称之为包含本金的赔率)，p呢?p是什么?是你个人的胜率?博彩公式赔率转换而来的概率?mso上面看到的转换的概率?实际上p最佳的解释是客观事实所可能导致的概率，你可以用泊松公式求得，你可以用elo求得，你可以个人认为(个人期望胜率)，你也可以从博彩公司的赔率转换而来(如果你能够有正确的公式的话，当然你也可以估算)。在后面我们再来讨论怎样理解这个东西以及如何获得这个东西以及我个人的一点心得。

　　那么，所谓的聪明方程是什么呢?实际上很简单，就是和你的资金做一个简单的关联，简单到只是取了你个人资金的一个固定系数1/3，所以我个人并不认为是一个聪明的方程 。个人因素方程呢，则是如何结合你个人的胜率的，这个跟个人成绩有较大的关系，又更加超脱，但是如果你不是一个具备稳定胜率的高手，那好像对你的参考意义就不大了，后面讨论。

　　四个方程，从基本，到结合个人资金，到结合个人胜率，如果系统化的应用，肯定就很强啦，希望大家一起来探讨如何系统性的利用这些方程，小弟我先抛砖了，大家可不要拿这砖来砸我阿。

　　kelly方程的来由

　　kelly方程就是kelly写的一篇论文里面的一个观点，实际上其方程和方程的推导如下(本人的数学和英文水平有限，翻译不对之处还请各位见谅，同时请高手们指点)：

　　博球者的资金变化取决于投资的次数和投注的选择对象，在n次投注之后其资金的变化2^n次(2的n次方)，实际上这样的增长变化在经济中比较常见，其资金的增长率G，G可以用公式:

　　1 V(N)

　　G =lim - log______ ------------(资金增长公式，其中N趋无穷大，V表示本金，V(N)表示N次之后的金额)

　　N V

　　其中 是n次投注之后的资金值， 是首次资金，假设每次投资用了 比例的资金，赢了W次，输了N次，那么，上述方程可以转化为：

　　G=P*log(1+L)+(1-p)log(1-L)

　　注，有更多的方程公式，由于无法贴上来，小弟只好放弃，代以更加简化的东西了，roy注

　　这个实际上就是 的期望方程，p就是赢的概率，1-p自然是输的概率，要想盈利，自然就是求上述公式的最大值的一向必要条件了，可以推算(俺就不详细说了，求导就是了)出来 ，这里说明了一个关键点，想盈利，必须要有50%以上的胜率，否则一切白忙活，这个是不是非常好理解呢―――这个其实也就是kelly方程里面所隐含的告诉我们的一个道理，这里就顺便提了出来。

　　回到kelly方程本身，那么，怎么从资金增长方程变化到kelly方程呢?实际上如何使得G最大化了，或者我们问，在那些条件下G能够获得较好的期望值，到了这里就头大了，kelly先生的论文不是很长，推导呢俺勉强也能看懂一点，但是就是公式太多了，公式太过于难于描述了，不过还好，kelly先生还是很大方的，有兴趣的朋友可以在网上找到他的论文，google一下就是了。

　　这样的一些公式推导或许对很多人来讲都是比较困难的，索性我们不关注这个，我把我自己的留意点说说，公式推导当中我们必须假定：庄家给出的赔率是根据事实的可能概率来制定的，即 p*o=1 但是很显然，庄家从来不会给出一个p是可以通过o简单的计算得到的。Kelly在文中提到，如果把o当作是庄家给出的"公平赔率"，那么，我们倒是可以得到一个结果，那就是是的最大化资金方程得到最小值，即归0。嘿嘿，这里面就比较搞了，文中要求的是需要有一个公平的p，但是不希望有一个公平的o;这两者矛盾嘛?不矛盾，庄家给出的总归不是公平的o的，因为庄家知道公平的p是什么但是庄家不会show给我们看，这里就告诉我们，如果仅仅是依靠庄家给出的o 来猜测那个p或者计算那个p，多半我们会比较惨。

　　kelly还提示我们另外一个好玩的东东：在公式推导的过程中我们接受一种事实，这个事实就是每个投注的人总是忽略那些所谓的信息灵通或者内幕消息的投注的――模型可不能最大化假球之类的出现的时候的资金。这也告诉我们，如果你知道假球，恭喜你先生，你不用考虑什么资金控制了，倾尽全部就是了，保证利益最大化。我不知道多少人看过kelly先生的这个论文和这里面的一些提醒，但是我还未曾在其原文之外的地方看见有人给出这些信息，我想，这里面非常关键的一个就是，公式只是死的，不能仅仅关注公式本身，你还应该知道公式的缺陷和公式的条件。说道条件，天，还有一个重要要素，那就是假设所有的投注金额都从输家转移到赢家，那庄家吃什么? 翻译一段kelly先生的结论来和大家共享(错误之处请谅，最好是能够指出帮忙纠正，先谢过了)。

　　在这里介绍的赌徒(原文如此)是和一般的赌徒有着本质的明显区别的(呵呵，看来是聪明博球者，roycaich自己的见解，下面在翻译时将根据个人的理解将涉及相关的人物代称更改为博球者和赌徒，博球者就是指合理利用kelly方程管理自己的人，赌徒就是指那些普通的) ，在每次投注的时候他期望获得logV(V为返回资金)的最大值，其原因跟用来管理资金的方程无关，而仅仅是和log函数相关，能够将大数定理应用于上面的该函数能够被运用于重复投注中。假设条件不同，例如，他老婆只允许他每周投注1元并且不允许他的回报用于再投资，那每个投注时他都期望赌资获得最大值，在资金最大化的情况下每次都把他所有的钱投入到投注中。一种可能的情况是，如果博球者与众不同的分配他的资金，他能够领先于其它赌徒。――这段话我想描述了一个事实，要有条件，然后还要理解并遵守那些条件，这样才能够体现kelly方程的意义。Roycaich注

　　需要注意的是，这里我们展示了某种可能，那些(采用我们的策略)管理资金的博球者的获益将会高于那些和我们(的策略)不同、依旧对于每个接受到的符号采用固定比例来管理资金的赌徒们的获益。如果需要，我们的投资策略可以被证明将是最为出色的，不过(文中)并没有给出展示。

　　尽管这里采用的模型是从实际的博彩活动中总结出来的，模型当然同样适用于生活中的其它经济领域。定律的必要条件在于获利资金的可再投资性和投资资金(下注的注额)在不同投资类别下的可灵活变更性，定理的应用渠道应该和投资者实际的投资资金等现实渠道相适应。

　　总结：

　　让我们概要的总结一下本论文的成果：如果投注者通过通讯渠道能够投注并且每次都将通过某一实体将其一定比例的资金投入，他的资金将指数增长或者下降。如果(博彩公司的，roycaich注)赔率是和交易实体发生的可能性概率相一致的(例如，等同于可能概率的倒数)，(资金增值的)指数增长率的最大值就等同于交易的频率;如果赔率并不公平，例如，和这个实体事件发生的概率不一致而是和其它的某些可能性概率相一致，指数增长率的最大值就会比那些的比没有总量等于信息交易频率的渠道先进的要大;万一存在什么"内幕消息"之类的事情发生，方程就棘手无策，只剩下理论上的空架子了。(这一段翻译得不好，还要向朋友请教一下进行校对，暂时先上来，后面改，朋友们也可以指正校对)。

　　再一次提醒各位，本人水平有限，可能翻译得不好，只是提供参考。这里顺便借用一下几位名家的话来帮助我们理解kelly方程：

　　1)(kelly方程)将资金的增长律渐进线最大化;

　　2)渐进线式的，(kelly方程)将达到一个目标的时间最小话;

　　3)几乎可以肯定的，(kelly方程)相对于那些有本质不同的策略而言在长期的运行中做得更好。

　　上面三句话是Hausch, Lo, and Ziemba (1994)提到的，这个应该是从学术化的角度来理解的。

　　完kelly的结论了，现在我们来讨论一下这里面的一些问题，如何应用不同的方程，如何结合投注，我想，这里个人的观点主要是抛砖。

　　第一个问题就是那些公式中的P了，这个到底是什么概率呢?来看看基础方程，第一个印象是非常直观的，就是P*O>1,O是菠菜公司开出的赔率，这个简单直观的东西告诉我们，这个p是是跟o有关系的，也提醒我们，实际上p并不容易计算，kelly公式也不是轻轻易易就能够套在我们的投注上的。实际上，我个人还是坚持认为p是一个事件即将发生的可能性概率，无他，是因为在投注活动中，球赛的结果基本上还是符合其长期的统计规律的，这点我想在 possion公式衍生出来的模型，ELO模型等等都得到了验证，所以我在上面解释四个公式的时候认为基础方程中的p跟赔率相关，举一个简单的例子，博彩公司对于某队获胜的赔率是1.5，你自己的胜率是65%，那么很明显，无论你怎么管理你的资金，你都无法盈利，这个例子浅显的告诉我们，那些说什么认为达到65%胜率的人就是高手其实是不准确的，胜率是要跟赔率相关的，也就是说如果一个人能够在赔率达到3的情况下保持胜率40%,那他就是了不起的高手了。我想，这个就是一个非常直观的高手定义了：所谓高手，就是能够稳定的从这个市场上赢取利润，并不在乎其胜率是多少，高高低低只是障眼法而已。关于这个，mso上高阳兄的看法应该是相同的，在后面会有引用。

　　回到公式的源，kelly模型里描述是把p定义为获得胜率的次数和总投注数的除数的，确确实实是跟个人相关的，但是他和其它人在研究的过程中采用了"fair odds"情况下的可能概率来进行的，这个更加是本质，因为如果按照那些赔率模型，都是被验证为最后的结果跟模型的预测基本一致的。那么我们认为用事件发生的本身可能概率来代替P也是可以接受的，但是问题是事件本身发生的可能概率如何获取呢?从那些已经成熟的模型获取吧，个人能力有限，资源有限，都不是什么容易计算的东西，而且根据这个概率获，庄家未必就肯给出符合p*o>1的o出来，操作起来也是难上加难。更为现实的情况还是借助于庄家的赔率，不要忘了，庄家能够给出不是"公平赔率"，但是我们却拥有我们自己的选择权，你可以选择接受或者不接收，这也告诉我们需要学会放弃。另外一个呢，就需要术业有专攻了，你个人的胜率可能是建立在各式各样的赔率基础上的，这里实际上会诱导你采用了不准确的数据，从而导致kelly应用的崩溃，所以一个较好的方式是对于某种赔率体系，某一个比较小范围的赔率进行跟踪和投资，在这个较小的范围内应用kelly方程可能可以获得较好的结果。